健康保険証が届く前に病院に行く場合、これまで加入していた健康保険証は使用できますか？

使用できません。 

医療機関にかかる際は、健康保険の切替手続き中である旨を医療機関の窓口で伝えていただき、支払方法は医療機関の案内に従ってください。